Jeu d'enfants
Par Vincent Maille le mardi, mars 24 2009, 07:59 - Problèmes ouverts - Lien permanent
Pour passer le temps, un enfant s'est inventé un jeu : il lance un dé et recommence l'opération jusqu'à ce qu'il obtienne le même résultat 5 fois de suite....Sachant qu'un lancer de dé dure en moyenne 3 secondes :
- Quel est le temps moyen d'une partie ?
- Quelle est la probabilité que le jeu dure moins d'une minute ?
Commentaires
On pourrait répondre : un certain temps !
Ou parler de Bernouilli ... Enfin ... Comme on est dans une page Tice : pourquoi pas Alea() ...
Au pire : les dés sont jetés !!!
Soit n un entier naturel à partir de 6. Si n lancers sont nécessaires pour réussir, c'est que la partie ne s'est pas encore arrêtée au bout de (n-5) lancers et que les 5 derniers lancers sont égaux et différents du (n-5) ème.
Je note P(n) la probabilité d'en finir avec n lancers , E (n) la probabilité que la partie ne soit pas encore finie au bout de n lancers.
[m]P(5) = 1/6^4[/m]
J'obtiens la relation : [m]P(n) = E(n-5)*{5/6^5}[/m].
E(n) = 1 - "somme des P(n) jusqu'à n inclus".
Conséquence :
P(n+1) = P(n) - P(n-4)x(5/6^5).
Pour essayer d'aller plus loin sur le plan théorique, il faudrait résoudre une équation du 5ème degré : x^5 = x^4 -(5/6^5)... je ne sais pas le faire...
Avec Excel, j'ai calculé jusqu'à P(1500) et la somme des probabilités n'est pas encore supérieure à 63 %. Pour le moment le nombre moyen est minoré par 402 (je vous laisse convertir en secondes...).
Je suis sceptique sur la possibilité de faire un nombre suffisant de simulations permettant d'émettre une conjecture sur le nombre moyen, mais je ne demande qu'à être convaincu.
J'espère que les collègues seront plus doués que moi pour mettre en place une stratégie rapide...
Quant à faire ça avec des élèves... (sans commentaire)
Allez ... Soyons fous ! Je vous offre un indice ou une autre façon de voir le problème ...
C'est des tirages indépendants,non ?
Donc, on n'a qu'a s'interesser à la proba d'obtenir 5 identiques ... soit [m]1/6^5[/m] a condition que le précédent soit différent soit : [m](5/6) *(1/6^5)[/m] ...
Et ... cela quelque soit le rang ...
Ah ! Il manque un truc ... Il faut eliminer les cas ou dans les tirages précédant, il n'y ait pas eu 5 identiques ni 6 ni 7 d'ailleurs ...
On a une série ! Mais plus d'équations infaisable ... Surtout au tableur
Je rectifie, Dominique, (5/6)(1/6^4)... parce que avec la fraction 5/6, 20% de la mission est accomplie, il reste les autres 80 %...
Comment élimine-t-on les cas avec 5, 6, 7 ? Avec la fonction E que je crois avoir définie...
J'explore une autre piste, avec le programme de 1 ES "spé" : matrices,suites de matrices (carrées d'ordre 5, tout de même...)
Suite au prochain numéro...
En effet, le problème n'est pas si simple...... car ce n'est pas parce qu'au n-ème lancer, le jeu n'est pas terminé, qu'il faudra attendre encore 5 lancers (un seul peut suffire si le n-ème lancer se termine déjà par 2,2,2,2 par exemple).
Peut être pourrait-on déjà dans un premier temps tenter d'avoir un résultat expérimental pour avoir une idée de la réponse ?
Finalement, avec les matrices c'était trop dur.
J'ai calculé des sommes, obtenu des relations de récurrence, ce qui m'a permis (heureusement) de démontrer que ma formule de P (n) avait une somme totale égale à 1.
Par ailleurs, j'ai établi d'autres formules de récurrence pour obtenir la valeur moyenne du nombre de lancers : j'ai la réponse , c'est 1555.
En attendant qu'un contradicteur prouve qu'on obtient autre chose, je considère que le problème est résolu sur le plan théorique. Reste à le vérifier expérimentalement, comme le suggère Vincent Maille.
Dès que possible je fais parvenir mes formules de récurrence.
Je trace ici le nombre de lancés, je vous laisse faire la multiplication par 3
[PJ=PJ_09.03.28_1.png]
Avec une moyenne qui frôle les 10 000 lancés soit plus de huit heures, on imagine sans difficulté la probabilité que le jeu dure moins d'une minute ! Pour qu'elle dure moins d'une heure, je penche pour une chance sur cinq. (ordonée en pourcentage)
[PJ=PJ_09.03.28_2.png]
C'est beau ces graphiques ... Enfin, ca prouve que l'on veut toujours placer les Tice ... Mais, ce n'est pas parce que la réponse sous forme d'expression mathématique ne voit pas le jour sur un blog Tice que les profs ne l'ont pas dans leurs brouillons ...
Enfin : on voit au moins que la politique mathématique de l'académie est accés sur la simulation informatique que sur la modélisation ... C'est déjà une info que l'on pourrait lire dans la prochaine lettre de rentrée ...
Hummm, ça donne envie de les voir ces brouillons...
D'autant plus que ces graphiques sont faux ! 5 résultats identiques consécutifs c'est 4 fois le même résultat que le précédent (et non 5)
Je lance les dés dans le train et je vous poste de nouveaux graphiques
Voici les représentation correspondant à cinq résultats identiques consécutifs.
Le nombre moyen de lancés :
[PJ=PJ_09.03.31_1.png]
La probabilité que la partie dure moins d'une heure :
[PJ=PJ_09.03.31_2.png]
La probabilité que la partie dure moins d'une minute :
[PJ=PJ_09.03.31_3.png]
on approche les 1% (simulation sur 2000 parties)
Si j'interprète bien la remarquable courbe de Benoît, je retrouve (avec un peu de culot) la valeur moyenne de 1555 lancers.
J'avais oublié une réponse : la probabilité théorique que la partie dure au plus 1 minute (20 lancers) est de 0,010388.... et quelques poussières, donc environ 1%.
Pour répondre à Dominique, nous sommes intéressés autant par les preuves mathématiques que par les démarches expérimentales.....même si comme tu le soulignes nous sommes sur un blog dont le thème est les TICE (Dans TICE, E=Enseignement.....)
Le résultat exact semble en effet bien trop difficile à trouver pour nos élèves, cependant les problèmes du mois sont fait aussi pour donner la possibilité aussi aux enseignants de se "divertir" et d'imaginer des pistes avec leurs élèves.....Je me souviens d'un certain "tir au canards" avec 10 chasseurs et 10 canards....Un collègue l'avait expérimenté en cinquième avec 3 canards et 3 chasseurs.....
Dans mon cas, je compte poser la question à mes élèves pour déjà 2 résultats identiques successifs, c'est déjà intéressant....
Vincent,
P.S : Expérimentalement je tourne plutôt à 1468 lancers - N'hésitez pas à fournir vos brouillons et fichiers d'expérimentation.
Expérimentalement et mathématiquement, je trouve comme Philippe.
a quand la réponse mathématique ? On ne va tout de même pas réouvrir nos vieux livres de proba conditionnelle ? ou fouille sur mathématiques.net ? Un pensée pour les profs hors course dans ce domaine ! C'est bon on a compris qu'on peut simuler sur excell ...
Je suis intéressé alors par une simulation sur Excel, car je n'ai pas réussi à la faire....
D'un autre côté, si on nous reproche d'utiliser les TICE et de ne plus faire de math, puis que l'on nous reproche de faire des math car on peut le faire avec les TICE, ça va commencé à devenir compliqué.
Ce serait drôle qu'un jour un élève m'écrive : "Un pensée pour les élèves qui n'ont pas écouté le cours ! C'est bon on a compris qu'on peut voir sur google".
Pas sympa comme réponse. Du coup,je garde mon fichier excell.
Mais,j ai mis 5 SI() imbriques pour le test de arrêt
C'était de l'humour....c'est un peu tendu en ce moment sur le blog, vivement les vacances....Mais pour l'anecdote, ça m'est déjà arrivé. J'avais donné un problème qui venait d'un scénario de Strasbourg (C'était la ville carrée), et un élève m'a rendu sa copie avec l'adresse de la solution, il avait tapé le titre du problème dans Google. Enfin bref,
Pour le fichier Excel, moi le problème ce n'était pas l'arrêt, mais la répétition d'expériences, car à 1555 lancers de moyenne, je n'arrive pas à répéter l'expérience (pas assez de lignes ou de colonnes)
salut à vous,
Hier à la journée de l'APMEP, nous avons vu une conférence de Michelle Artigue sur la modélisation...
Nous ne sommes pas loin du sujet et de la tendance ... Les mathématiques sont aussi dans la mise en forme d'une expérimentation et de l'analyse des résultats ... Même si pour moi, l'outil probabiliste me semble lourd dans un tel exercice : l'idée de fouiller et conclure me semble exploitable voire à exploiter ...
Pour reprendre l'axe de Vincent : il est surement préférable de regarder une série s'arrêtant pour 2 identiques ...
Pour vous aider à conjecturer, je vous propose une page de simulation en javascript ...
A vous de reprendre les nombres fournis et de les intégrer dans un tableau ou un graphique pour l'exploitation à faire en classe ...
Le tableur en temps que simulateur me semble ici atteindre ses limites ...
Au moins pour l'énoncé de base ...
Adresse du fichier de simulation : etablissements.ac-amiens....
Ce qui me surprend c'est que je tourne plutot autour de 960 pour la question 1 ...;-(
En utilisant Math.floor pour le lancé aléatoire : j'obtiens 1550
en utilisant Math.round : je suis à 960 ...
Comme Math.floor ne fait aucune transformation du nombre, il semblerait que la réponse attendue soit 1550 ...
etablissements.ac-amiens....
Ben Tony ... Tu nous diras si ton fichier est plus court ! Car, moi sous excel : j'ai un truc pas si propre que ca ... Enfin, ca tourne ... Et, si on copie plusieurs fois les deux lignes : on trouve une moyenne qui colle avec les 1500 cherchés ...[PJ=PJ_09.04.02_2.xls]
Merci Jean Phy et bravo pour ce fichier de simulation sur tableur. Ta remarque sur math.floor et math.round est très intéressante. Mes élèves ont rencontré le même problème l'autre jour avec ENT et ARRONDI sur le tableur pour un lancer de dé: Ils avaient trouvé sur internet :
Pour tirer un entier dans l'intervalle [a ; b], on tape a+ARRONDI((b-a)*ALEA();0)....évidement c'est vrai, mais en réalisant l'histogramme, les élèves ont vite vu le soucis d'équiprobabilité....
[PJ=PJ_09.04.02_1.png]
Vincent
Je vous joins une simulation sous excel (j'en ai une avec Maple, mais le fichier n'est pas pris en compte sur le blog).
J'arrive à un résultat qui tourne autour de 800 lancers ... soit 40 minutes.
Je ne vois pas d'où vient le 1550 !
Je réfléchis à une démonstration, car j'ai quelques idées. A venir plus tard ...[PJ=PJ_09.04.08_2.xls]
Quid de cette remarque sur les 800 lancers ?
J'ai ajouté la possibilité de joindre un fichier Maple.
Loic n'a pas du lire les coms précédents !
Sinon, il n'aurais pas failli ... dans cette faille ...
Hihihi
Je propose (en pièce jointe) une démonstration du nombre 1555, nombre moyen de lancers. Les formules employées sont un peu indigestes, désolé.
C'est beau ! Voila de vacances bien studieuses ;)
Je joins la proposition de Philppe qui n'a pas du passer la première fois.
J'ai une autre preuve avec des matrices que j'ai réalisé avec un collègue de E. Branly, elle est sur un autre ordinateur que je n'ai pas sous la main, je vous l'enverrai à la rentrée.
Vincent
[PJ=PJ_09.04.27_1.doc]
Voici le fichier promis pendant les vacances....
Certain ont-ils des propositions expérimentales utilisant des algorithmes par exemple ?
Bonne lecture,
Vincent
[PJ=PJ_09.05.04_1.pdf]
Bon, je n'ai pas bien compris la remarque de Christian. J'aurais préféré une remarque un peu plus constructive ... Je n'aime pas la méchanceté facile, surtout sur les forums lorsqu'on ne connaît pas les gens. Je pourrais facilement dire : tiens, il faut un accent circonflexe sur le u de "dû" ou il faut plutôt un t à la fin de "il n'aurait". De bien belles failles là aussi. Gngngngn ...
D'autant que je ne suis pas neuneu, j'ai lu les remarques précédentes.
Si je fais l'hypothèse que le "hihihi" porte sur un quelconque plantage entre math.floor ou math.round de ma part, je tiens à préciser que j'ai testé la fonction alea.entre.bornes pour m'assurer de son équirépartition. Je joins un fichier pour que tout le monde constate qu'elle a l'air de fonctionner comme on l'attend !
Non, en fait l'erreur provient de mon test d'arrêt trop précoce. Je m'en suis rendu compte quasiment après avoir envoyé le fichier, mais le temps m'a alors manqué pour faire la correction, et je m'attendais à ce que tout le monde me signale cette belle erreur (mais d'une manière plus précise que "hihihi" qui ne veut rien dire pour moi ... désolé).
Effectivement, avec une moyenne de 1555 lancers, abandonner une partie au bout de 2000 lancers fausse nécessairement l'expérimentation, quel que soit le mode de simulation. J'avais fait la même erreur avec Excel et Maple, d'où mon interrogation.
Afin d'éviter le problème, j'ai mis le test d'arrêt à 10000 (c'est-à-dire que si une partie n'aboutit pas avant 10000 lancers, je décide d'abandonner ce test et d'en commencer un autre). On pourrait gérer la chose un peu différemment dans Maple, mais je préfère laisser la structure telle quelle, cela permet de voir le parallèle entre les boucles de Maple et la structure itérative d'Excel.
Voilà, en ce qui concerne ma démonstration, elle était plus dans l'idée de Philippe que de Vincent (en travaillant sur des probas de première apparition). Mais je l'avais laissée à l'état d'embryon, donc je n'ai rien à apporter de plus. En tout cas, les deux démonstrations proposées sont fort séduisantes, avec deux optiques bien différentes.
Bravo à Philippe et Vincent !
Loïc
[PJ=PJ_09.05.10_1.xls][PJ=PJ_09.05.10_2.mws]
Ta remarque sur la condition d'arret est intéressante :
Dans mon algorithme, il n'y a pas d'autre test d'arret (en dehors des cinq lancés consécutifs) avec un risque (bien faible) d'une boucle infini.
On peut donc programmer les contraintes sans présumer du résultat.
Il me semble que dans certains modélisations il y a quelques divergences (par exemple l'existence du sixième lancé consécutif ou l'abandon d'une partie à 10000 lancés) qui peuvent influencer la moyenne (certe faiblement). Dites moi si je me trompe...
Je trouve aussi intéressant la démarche qui se dégage : nous avons d'abord confronté nos modélisations jusqu'a être sur qu'elles convergent avant de passer à la preuve.
Je remarque aussi que même pour la preuve, l'outil est précieux pour faire les calcul.
Pour ceux que ça intéresse, voici ce que ça donne en Python :
import random
import matplotlib.pyplot as plt
x=[]
y=[]
total=0
for k in range(5000): #nombre de parties
a,i,j=0,0,0
while i<4 :#nombre de répétions attendues
j=j+1
r = random.randint(1,6) #lancer du dé
if (a==r) :
i=i+1
else :
i=0
a=r #on stoque le résultat
total=total+j
moyenne=total/(k+1)
x.append(k+1)
y.append(moyenne)
plt.plot(x,y)
plt.show()
Effectivement Benoît, en programmant de la sorte, tu t'assures de ne pas introduire de biais, et la modélisation correspond bien au jeu réel : on continue à lancer le dé jusqu'à obtenir 5 fois le même chiffre.
Maintenant, le risque de boucle infini est faible (même nul en théorie), mais le risque de devoir faire un grand nombre de lancers n'est peut-être pas négligeable suivant ce qu'on met derrière le terme "grand nombre". De manière empirique, j'ai constaté qu'avec un test d'arrêt à 10000, il n'y avait pas de problème et la partie se finissait avant, ce qui n'était pas le cas avec un arrêt à 2000. C'est donc juste une sécurité, car on peut imaginer une partie qui aille jusqu'à 20 ou 30000 ... ça risque de prendre un bon moment !
Maintenant, si on est prêt à laisser l'ordi mouliner toute la nuit, no problemo, le risque de vrai plantage est quasi-nul.
En fait, lorsque je disais qu'on pouvait gérer la chose différemment avec Maple, je pensais plutôt entrer en argument le nombre total de lancers de dé, faire une boucle sur ce compteur, et avoir un autre compteur pour numéroter les lancers d'une partie (qui serait donc remis à 0 en cas de succès). Au bout de, disons, 200000 lancers de dé, on verrait bien combien de parties auraient abouti, et en combien de coups à chaque fois. Cela permet de savoir combien de temps donner à l'ordinateur pour faire la simulation, sans mettre de biais. L'inconvénient étant qu'on ne gère pas le nombre de parties réussies, ce qui est moins pratique pour faire des stats (on obtient des échantillons de tailles différentes).
En tout cas, on voit bien qu'il n'est pas si facile, a priori, de faire des simulations assurément correctes sur des problèmes dont on ne connaît pas la solution dès le départ, ce qui montre que l'outil informatique demande une réelle maîtrise et un regard critique, et que tout ceci ne peut être alimenté que par une réflexion purement mathématique en parallèle. Je dis cela pour dénoncer une certaine frénésie qu'il peut y avoir parfois à introduire des TICE à tout prix, ou à vouloir résoudre des problèmes sans posséder le bagage technique préalable. Et pourtant, je pense faire partie de ceux qui sont plutôt favorable à l'utilisation du PC, mais n'oublions pas (enfin, comprenez : "faisons en sorte que nos élèves n'oublient pas") de faire aussi le b.a-ba avant de vouloir faire des trucs ambitieux.
Dans le cas présent, sans l'assurance que la valeur moyenne était 1555, j'aurais probablement laissé mon programme tel quel, sans prendre conscience du biais considérable introduit par le test d'arrêt !
Bref, vive les maths ! Et vive l'info ;-) Je ne suis pas sectaire !
Loïc.
Je ne vais pas faire de la philosophie à 2 centimes d'euros mais la fameuse loi des grands nombres fait parfois dire des bêtises car, qu'est-ce qu'un grand nombre ?
Quand les statistiques et les simulations viennent au secours des probabilités, 10 000 est-il un grand nombre ? Ca dépend... de l'énoncé, de la température et de l'âge de l'Inspecteur (pardon, du capitaine).
Quand j'ai commencé à étudier ce problème du mois, j'avais des doutes sur la possibilité d'obtenir une simulation fiable avec des élèves (la moyenne étant de 1555, quel élève allait être capable d'approcher une telle valeur ?).
Bref : l'outil informatique, l'échantillonnage, les simulations et tout ça, c'est bien joli, mais ça ne remplacera jamais la bonne vieille démonstration...
Tu as raison sur le fond mais l'argument n'est pas le bon : l'intéret de représenter graphiquement la durée moyenne d'une partie c'est de "voir" celle ci converger vers une valeur. Maintenant, je suis d'accord que ceci n'est pas une preuve mais que la preuve n'est pas plus parlante sur le pourquoi du 1550.
Parfois l'experience apporte la preuve...
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