Le problème du mois de Mars
Par Olivier Binand le mercredi, mars 26 2008, 13:47 - Problèmes ouverts - Lien permanent
La ville carrée
Une ville carrée de dimension inconnue comprend une porte au milieu de chaque côté. A l’extérieur de la ville, vingt pas après la sortie Nord, se trouve un arbre. Si tu quittes la ville par la porte Sud, marche quatorze pas vers le sud puis 1775 vers l’Ouest et tu commenceras tout juste à apercevoir l’arbre. On cherche les dimensions de la ville.
D’après le « Jiuzhang suanshu » ou les « Neuf chapitres sur l’art du calcul », ouvrage chinois de 200 avant JC composé de 246 problèmes ayant pour but de fournir des méthodes pour résoudre les problèmes quotidiens de l'ingénierie, de l'arpentage, du commerce et de la fiscalité.
Commentaires
est-ce que la longueur x ne serait pas solution de l'équation : 40*1774=34x+x², soit x²+34x-70960 ?
C'est 1775 et non pas 1774.
Ce qui donne pour équation x²+34x-71000
L'énoncé nous amène à représenter un triangle rectangle OAB (rectangle en O) tel que OA = 1775 et OB = 14 + x + 20. La ville carrée a un coin C situé sur l'hypoténuse.
L'application du théorème de Thalès conduit effectivement à résoudre l'équation x² + 34x = 71000.
D'où x = 250.
Pour prolonger le problème, on peut demander de calculer la longueur de l'hypoténuse ; plus exactement, je suggère de vérifier que AB² n'est pas un nombre premier et même que AB² est divisible par un autre carré...
C'est drole moi, je trouve x^2+34x=35500
C'est le problème du gyrophare des première L
En collège, comme il n'y a pas la résolution de trinômes du second degré on peut construire la figure dans géogébra.
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a est la longueur du côté de la ville ( 0
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On peut trouver la valeur de a par tâtonnements en faisant en sorte que le point L se retrouve sur le segment [AC].
En zoomant suffisamment sur la figure (bouton droit puis zoom) on arrive à placer ce point L sur [AC].
Voir la figure géogébra
On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel ou chercher la solution au tableur. ça me semble moins difficile qu'une construction en géométrie dynamique avec des longueurs fixes.
Comme cela avec wiris par exemple
De mon côté j'étais partie sur l'alignement de points et donc sur des sinus égaux...
Sinon, le problème en tant que tel est assez facile, cela serait bien d'ouvrir en interprétant l'énnoncé d'un autre façon :
Lorsqu'on parle de 20 pas après la sortie nord on ne dit pas qu'on se dirige forcemment vers le nors, on peut donc partir sur un cercle de rayon 20, ensuite lra réponse dépendra de la position de cet arbre sur l'arc de cercle.
Uns construction sous géogébra peut se faire facilement
cela peut être bien de reprendre la figure de "lepierre" et de rajouter la valeur de l'angle afin de vérifier l'alignement des points.[PJ=PJ_08.03.29_1.ggb]
Je ne comprend pas pourquoi un tel problème se trouve dans une partie Tice ...
Le croquis permet sans effort d'obtenir une équation "classique" ...
Un petit commentaire pour Vincent et son utilisation de Wiris ...
Quitte à utiliser un calculateur formel : autant ne pas réduire l'équation et lui demander directement de résoudre Thalès ... Ce qu'il sait faire ? Sinon, c'est sortir l'artillerie lourde pour rien, non ?
Tout à fait, en fait j'ai juste recopié l'équation proposée par Lepierre - sans même vérifier d'ailleurs - pour montrer qu'il existait des outils gratuits et en ligne pour résoudre ce genre de problème.
En fait, comme le dit Christian, que fait ce problème dans la partie TICE ? ....Tout dépend du niveau auquel il est proposé si c'est en première, c'est en effet inutile, d'ailleurs pour ma part, le papier crayon me semble plus efficace qu'une figure dynamique ici....Par contre, en collège / seconde, l'ordinateur peut ici servir à passer un point de rupture pour une équation que l'on ne sait pas encore résoudre.....
Le prolongement de Marlène semble aussi intéressant à creuser....cette fois ci le logiciel de Geométrie dynamique trouve son intérêt je pense.
Vincent
Salut les collègues d'Amiens,
heureux hasard, le groupe maths et tice de l'académie de Strasbourg avait publié en debut d'année un scénario TICE sur la ville carrée :
www.educnet.education.fr/...
A bientôt,
Yvan Monka
Merci celà nous donne un lien vers un scénario complet. Avez vous vu la partie "grille d'évaluation" avec les commentaires qui suivent ?
Qu'en pensez vous ?
C'est surement l'histoire de la poule et de l'oeuf...
www.ac-strasbourg.fr/sect...
En effet. Bravo pour cette scénarisation !
Que se passe-t-il si la ville est ronde ?