Est ce que le problème serait-il le même si 1500 chasseurs tiraient dans les mêmes conditions sur 1500 oiseaux?
C'est plus pratique pour la simulation non?
5.
Le mardi, juin 12 2007, 20:52 par Vincent Maille
Que de réponses....et toutes différentes....C'est ça le débat mathématique !
En quoi le fait d'avoir 1 500 oiseaux serait plus pratique pour la simulation ?
car la simulation est plus proche de "la réalité" pour n assez grand non?!
8.
Le mardi, juin 12 2007, 21:26 par Vincent Maille
Tout dépend ce que représente n....La question est en effet "en moyenne", combien il en reste. n peut être le nombre d'essais réalisés par exemple....Dans ce cas si vous faites beaucoup d'essais, je comprend que vous utilisiez un tableur pour ne pas sacrifier trop de canards ;)
Je vous rappelle que vous pouvez m'envoyer vos fichiers pour que je les mette en ligne, toutes les réponses sont intéressantes.
Dans une colonne,j'ai numéroté les chasseurs de 1 à 10. Dans une autre, j'ai fait un tirage aléatoire de 10 entiers entre 1 et 10.
Dans la troisième colonne, j'ai dénombré le nombre de fois ou un oiseau est touché. Il ne reste plus que de compter les survivants.
je te joins le fichier Excel.
Bravo pour le 3,49.
Les simulations c'est bien pour avoir une idée de la réponse, mais que faites vous des probas ?
Petite question supplémentaire, que se passe-t-il lorsque n tend vers l'infini ?
Peut-on considérer qu'une simulation puisse faire office de preuve ?
Qu'en est il de la valeur du nombre aléatoire dans un tableur ? Parlons-nous de pseudo aléatoire ?
Bun j'ai déjà donné l'essentiel.
A chaque tir un même canard a une proba de 9/10 de rester en vie (et de 1/10 de se faire tuer).
Il a donc une proba de (9/10)^10 de rester en vie à l'issue des 10 tirs.
C'est valable pour les 10 canards donc l'espérance du nombre de survivants est 10*(9/10)^10.
Pour le cas où le nombre de canard est l'infini, le nombre de survivants est infini lui aussi, c'est donc la proportion de survivants qu'il est intéressant d'évaluer.
Vers quel nombre se rapproche ((n-1)/n)^n lorsque n tend vers l'infini ?
ton approche est tout à fait correcte mais tu trouvera la même valeur.
Cependant ton intervention m'a fait réflechir et je me suis rendu compte que je n'avais pas cherché à déterminer la loi de cette variable aléatoire.
Je vais chercher un peu...
Comment savez vous que je vais trouver la même valeur! Car votre formule pour la moyenne n'est pas justifiée! Il n'y a pas lieu de multiplier la probabilité qu'un canard survive par le nombre de canards,pour obtenir la moyenne du nombre de survivants.
Respect à toi Ô grand Parallax , mais tu risques de tomber sur le nombre d'applictions surjectives d'un ensemble de n éléments vers un ensemble de p éléments, n>p.
Pour 10 canards et 10 chasseurs, le nombre moyen d'oiseaux tués est F (10) en considérant la suite définie par :
F(1) = 1
F(n+1) = 0,9F(n) + 1
La démonstration ne tient pas sur quelques lignes ; si besoin, je la mettrai en pièce jointe un de ces jours...
Je laisse au lecteur le soin d'utiliser une suite annexe (géométrique) pour obtenir le terme général de cette suite...
Bref : [m]F (10) = 10 - {9^10}/{10^9} [/m]soit environ 6,51
Le nombre de survivants est [m]{9^10}/{10^9} [/m] soit environ 3,49
Pour [m]x[/m] chasseurs et [m]x[/m] oiseaux, je présume qu'il suffit de remplacer 0,9 par [m]x/{x+1}[/m] dans l'expression de [m]F(n+1)[/m]. Je vais étudier cette question. Si ma conjecture est correcte, je crains qu'on ne s'éloigne du nombre e les amis LOL .
J'ai passé une bonne partie de l'après-midi à essayer d'identifier les coefficicents pas glop dans mes probas.
J'ai reduit le problème à 2 canards : 2 et 1.
Puis à 3 : 6, 6, 1
Puis à 4 : 24, 36, 14, 1.
Ce sont effectivement des nombres de surjections.
Un fois qu'on a choisi nos k canards survivants, il faut ensuite lacher les n chasseurs sur les n-k canards restant c-à-d trouver une surjection d'un ensemble à n éléments dans un autre à n-k éléments.
La loi de proba est donc donnée par P(X=k)=(C(n,k)/n^n)*S(n,n-k) où S(n,n-k) est le nombre de surjections.
Respect, sans ton indication j'y serais encore !
Reste à vérifier que l'espérance est bien n*((n-1)/n)^n.
Là je crois que je vais m'abstenir pour le moment, je reprendrai ça sur la plage...
(j'aimais bien mon explication toute simple...)
Avec ta phrase:"La démonstration ne tient pas sur quelques lignes ; si besoin, je la mettrai en pièce jointe un de ces jours...", tu me fais penser à Fermat et sa conjecture " je n'ai pas assez de place pour la démostration". J'espère que nous allons pas attendre 3 siècles pour la démonstration de ta conjecture sur la suite proposée...
Salut, c'est encore moi
Le citoyen Parallax donne des formules compliquées mais elles rejoignent les miennes.
Je ne suis pas Fermat, je ne vais pas passer l'arme à gauche avant d'avoir rédigé ma démonstratrion ; un peu de patience, je corrige la BAC
Je présente des excuses : le nombre e est effectivement relié à ce problème lorsque le nombre de piafs et le nombre de chasseurs tendent vers l'infini : la proportion de survivants est 1/e ! Encore ce fameux nombre e !!!
L'objectif de ce site est-il de promouvoir les TICE chez nos élèves par des activités simples et efficaces ou de faire une préparation aux colles des classes prépa? Est il nécessaire de compter le nombre de "111" dans un intervalle pour introduire la notion de suites? ou dénombrer le nombre de surjections pour parler d'éspérance mathématiques?
Des questions sans plus.....
Quand vous posez ce problème du mois qui dans sa résolution théorique est limite classe terminale, que voulez vous? Une résolution théorique par des profs de maths, un programme informatique pour avoir une réponse expérimentale approchée avec un logiciel genre tableur, c'est pas clair. De plus on dirait que certains connaissent la réponse sans pouvoir l'expliquer clairement! Ca me fait penser à certains élèves.
Je pense que, par ma remarque, j'ai déclenché une vague de critiques positives.
il serait peut être très utile, pour nous enseignants, de tester une même activité pour un niveau donné et de comparer les mises en pratique ainsi que les intérêts que ca a sucité chez nos élèves.
c'est comme ca que nous pouvons améliorer les approches de notre matière et cela dans le plus garnd intérêt de nos élèves.
Franchement, je ne vois pas du tout l'intérêt de simuler ce problème pour des élèves de seconde et surtout ne rien démonter!!!!
Un jeu de piles ou face, facile accessible et rapide permet aux élèves de se familiariser avec le tableur et la simulation sans aucune difficulté et la "explication intuitive" 1 chance sur 2 est très convaincante pour ces élèves. Si tu as réussi à faire des génies en seconde qui conjeturent sur la limite 1/e!!!!! Moi je ne peux que te féléciter!!
"la simulation à l'aide du générateur aléatoire d'une calculatrice. La simulation remplaçant l'expérimentation permet, avec une grande économie de moyens, d'observer des résultats associés à la réalisation d'un très grand nombre d'expériences. On verra ici la diversité des situations simulables...."
Il me semble que ce problème colle parfaitement a ce programme de seconde
De plus, on tient peut-être un problème pour la future épreuve TICE en TS, non ?
Il est claire que la simulation fait partie intégrante de notre enseignement et c'est ce que je fais à mes élèves soit par calculatrice ou tableur.
Mais avant de faire une simualtion, il faut toute une préparation purement mathématiques " accessibles" à nos élèves. Tout le monde ne tavaille pas avec des classes S. Les APV existent toujours!!!!
Parallax a finalement raison, son résultat est bien la moyenne de la loi binômiale
pour N= 10 expériences répétées indépendantes de probabilité [m]p=0,9^10[/m]
dans ce cas on démontre que E(X)=Np et la variance V(X)=Npq, (avec q=1-p),
mais ça n'a rien d'une évidence, ça doit être justifié.
philippe,
même si le résultat final semble être bon. je ne suis pas d'accord sur le type de tirage et la modélisation du problème: les dix chasseurs tirent en même temps . Je vais me concentrer un peu plus sur ton raisonnement.
Que les chasseurs tirent succéssivement ou simultanément n'a pas d'importance pour les probas, car dans la mathématisation avec tirages succéssifs avec remise on comprend qu'un chasseur peut tirer sur un canard déja touché auparavant.
Pour parallax: le nombre de surjections de n éléments vers p éléments est donné par la formule:[m]S(n,p)=sum{k=1}{p}{((-1)^(p-k)C(p,k)k^n)}[/m], où C(p,k) est le nombre de combinaisons de k éléments parmi p.
Voir le site : perso.orange.fr/gilles.co...
1) j'avais déjà la formule ainsi q'une autre formule de récurrence sur les S(n,p), mais je déclare forfait quand au calcul de l'espérance à partir de la loi de proba.
2) On trouve bien l'espérance de la loi binomiale que tu décris [m]B(10,0.9^10)[/m] mais ce n'est pas une loi binomiale car il n'y a pas indépendance. Par contre il y a équiprobabilité d'où mon idée de multiplier par 10 la proba de survie d'un canard. En considérant qu'il s'agit d'une somme de 10 loi binomiales [m]B(1,0.9^10)[/m] on a alors [m]E(X)=E(sum{}{}{X_i})=sum{}{}{E(X_i)}=nE(X_i)[/m]... reste que X=n n'est pas convenable avec "le sans échec"...
nul part en effet, la dépendance/indépendance ne pose pas de problème pour le calcul de l'espérance d'une somme de variables aléatoires.
Ce qui m'a gêné après reflexion c'est que la variable X puisse prendre la valeur 10 alors qu'il ne peut y avoir 10 survivants. Heureusement tout s'arrange bien car la proba correspondante est nulle.
A+
47.
Le mercredi, août 29 2007, 10:35 par Vincent MAILLE
Après 2 mois de vacances, je reprends le problème, la limite du nombre de survivants n'est pas [m]1/e[/m] puisque [m]E(X)={(N-1)^N}/{N^{N-1}}[/m] et non [m]({N-1}/N)^N[/m] me semble-t-il.
48.
Le vendredi, septembre 7 2007, 12:49 par Vincent MAILLE
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Un scénario vous est proposé à cette adresse.
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Commentaires
5.51 ....
10*(0.9)^10 soit environ 3 canards et demi. Pauvre demi canard survivant...
Un tableur donne environ 1,82 canard survivant.
Est ce que le problème serait-il le même si 1500 chasseurs tiraient dans les mêmes conditions sur 1500 oiseaux?
C'est plus pratique pour la simulation non?
Que de réponses....et toutes différentes....C'est ça le débat mathématique !
En quoi le fait d'avoir 1 500 oiseaux serait plus pratique pour la simulation ?vincent tu parles de la moyenne ou de la fréquence?
1500 oiseaux pour 1500 chasseurs.
car la simulation est plus proche de "la réalité" pour n assez grand non?!
Tout dépend ce que représente n....La question est en effet "en moyenne", combien il en reste. n peut être le nombre d'essais réalisés par exemple....Dans ce cas si vous faites beaucoup d'essais, je comprend que vous utilisiez un tableur pour ne pas sacrifier trop de canards ;) Je vous rappelle que vous pouvez m'envoyer vos fichiers pour que je les mette en ligne, toutes les réponses sont intéressantes.
Pour n canards/chasseurs on aura une espérance de n*((n-1)/n)^n canards survivants car à chaque tir un même canard a (n-1)/n chances de survivre.
Dans une colonne,j'ai numéroté les chasseurs de 1 à 10. Dans une autre, j'ai fait un tirage aléatoire de 10 entiers entre 1 et 10.
Dans la troisième colonne, j'ai dénombré le nombre de fois ou un oiseau est touché. Il ne reste plus que de compter les survivants.
je te joins le fichier Excel.
Bravo pour le 3,49.
Les simulations c'est bien pour avoir une idée de la réponse, mais que faites vous des probas ?
Petite question supplémentaire, que se passe-t-il lorsque n tend vers l'infini ?
c'est la question que je me suis posée. le problème serait-il le même avec 1500 chasseurs et 1500 oiseaux?
Parallax, tu as l'air de bien maitriser le sujet !
Mais qui se cache derrière ce pseudo ?
Et quand est ce que tu nous donne les explications ?
@+
Non! c'est juste une question!!!
Peut-on considérer qu'une simulation puisse faire office de preuve ?
Qu'en est il de la valeur du nombre aléatoire dans un tableur ? Parlons-nous de pseudo aléatoire ?
la simulation permet la conjecture. Il reste la démonstration!
Bun j'ai déjà donné l'essentiel.
A chaque tir un même canard a une proba de 9/10 de rester en vie (et de 1/10 de se faire tuer).
Il a donc une proba de (9/10)^10 de rester en vie à l'issue des 10 tirs.
C'est valable pour les 10 canards donc l'espérance du nombre de survivants est 10*(9/10)^10.
Pour le cas où le nombre de canard est l'infini, le nombre de survivants est infini lui aussi, c'est donc la proportion de survivants qu'il est intéressant d'évaluer.
Vers quel nombre se rapproche ((n-1)/n)^n lorsque n tend vers l'infini ?
Parallax,
Encore une manière d'approcher e. lim((n-1)/n)^n = e !! Sacré eeeeeeeeeeeeeeeee
CLR,
Tu as répondu un peu vite mais tu n'es pas loin...
Parallax,
1/e ca te va? ou tu préféres e^(-1) lol.
Parallax,
J'ai oublié! Tu dois revoir tes félicitations pour Cyd avec les 3.49!!
CLR,
why ? c'est une bonne approximation de la réponse au problème.
Parallax,
un peu loin quand même de 1/e non?
CLR,
sa réponse correspond au problème de départ avec 10 canards, pas une infinité.
JOUPAT,
ton approche est tout à fait correcte mais tu trouvera la même valeur.
Cependant ton intervention m'a fait réflechir et je me suis rendu compte que je n'avais pas cherché à déterminer la loi de cette variable aléatoire.
Je vais chercher un peu...
A+
Comment savez vous que je vais trouver la même valeur! Car votre formule pour la moyenne n'est pas justifiée! Il n'y a pas lieu de multiplier la probabilité qu'un canard survive par le nombre de canards,pour obtenir la moyenne du nombre de survivants.
Respect à toi Ô grand Parallax , mais tu risques de tomber sur le nombre d'applictions surjectives d'un ensemble de n éléments vers un ensemble de p éléments, n>p.
Pour 10 canards et 10 chasseurs, le nombre moyen d'oiseaux tués est F (10) en considérant la suite définie par :
F(1) = 1
F(n+1) = 0,9F(n) + 1
La démonstration ne tient pas sur quelques lignes ; si besoin, je la mettrai en pièce jointe un de ces jours...
Je laisse au lecteur le soin d'utiliser une suite annexe (géométrique) pour obtenir le terme général de cette suite...
Bref : [m]F (10) = 10 - {9^10}/{10^9} [/m]soit environ 6,51
Le nombre de survivants est [m]{9^10}/{10^9} [/m] soit environ 3,49
Pour [m]x[/m] chasseurs et [m]x[/m] oiseaux, je présume qu'il suffit de remplacer 0,9 par [m]x/{x+1}[/m] dans l'expression de [m]F(n+1)[/m]. Je vais étudier cette question. Si ma conjecture est correcte, je crains qu'on ne s'éloigne du nombre e les amis LOL .
Philippe
C'est le même résultat que le grand Parallax :
[m]10*0,9^10={9^10}/{10^9}[/m], étonnant non?
Merci pour l'info Joupat,
J'ai passé une bonne partie de l'après-midi à essayer d'identifier les coefficicents pas glop dans mes probas.
J'ai reduit le problème à 2 canards : 2 et 1.
Puis à 3 : 6, 6, 1
Puis à 4 : 24, 36, 14, 1.
Ce sont effectivement des nombres de surjections.
Un fois qu'on a choisi nos k canards survivants, il faut ensuite lacher les n chasseurs sur les n-k canards restant c-à-d trouver une surjection d'un ensemble à n éléments dans un autre à n-k éléments.
La loi de proba est donc donnée par P(X=k)=(C(n,k)/n^n)*S(n,n-k) où S(n,n-k) est le nombre de surjections.
Respect, sans ton indication j'y serais encore !
Reste à vérifier que l'espérance est bien n*((n-1)/n)^n.
Là je crois que je vais m'abstenir pour le moment, je reprendrai ça sur la plage...
(j'aimais bien mon explication toute simple...)
A+
Philippe,
Avec ta phrase:"La démonstration ne tient pas sur quelques lignes ; si besoin, je la mettrai en pièce jointe un de ces jours...", tu me fais penser à Fermat et sa conjecture " je n'ai pas assez de place pour la démostration". J'espère que nous allons pas attendre 3 siècles pour la démonstration de ta conjecture sur la suite proposée...
Salut, c'est encore moi
Le citoyen Parallax donne des formules compliquées mais elles rejoignent les miennes.
Je ne suis pas Fermat, je ne vais pas passer l'arme à gauche avant d'avoir rédigé ma démonstratrion ; un peu de patience, je corrige la BAC
Je présente des excuses : le nombre e est effectivement relié à ce problème lorsque le nombre de piafs et le nombre de chasseurs tendent vers l'infini : la proportion de survivants est 1/e ! Encore ce fameux nombre e !!!
A+ et courage à ceux qui corrigent des exam'
L'objectif de ce site est-il de promouvoir les TICE chez nos élèves par des activités simples et efficaces ou de faire une préparation aux colles des classes prépa? Est il nécessaire de compter le nombre de "111" dans un intervalle pour introduire la notion de suites? ou dénombrer le nombre de surjections pour parler d'éspérance mathématiques?
Des questions sans plus.....
Quand vous posez ce problème du mois qui dans sa résolution théorique est limite classe terminale, que voulez vous? Une résolution théorique par des profs de maths, un programme informatique pour avoir une réponse expérimentale approchée avec un logiciel genre tableur, c'est pas clair. De plus on dirait que certains connaissent la réponse sans pouvoir l'expliquer clairement! Ca me fait penser à certains élèves.
Je pense que, par ma remarque, j'ai déclenché une vague de critiques positives.
il serait peut être très utile, pour nous enseignants, de tester une même activité pour un niveau donné et de comparer les mises en pratique ainsi que les intérêts que ca a sucité chez nos élèves.
c'est comme ca que nous pouvons améliorer les approches de notre matière et cela dans le plus garnd intérêt de nos élèves.
Franchement, je ne vois pas du tout l'intérêt de simuler ce problème pour des élèves de seconde et surtout ne rien démonter!!!!
Un jeu de piles ou face, facile accessible et rapide permet aux élèves de se familiariser avec le tableur et la simulation sans aucune difficulté et la "explication intuitive" 1 chance sur 2 est très convaincante pour ces élèves. Si tu as réussi à faire des génies en seconde qui conjeturent sur la limite 1/e!!!!! Moi je ne peux que te féléciter!!
Extrait du programme en seconde :
"la simulation à l'aide du générateur aléatoire d'une calculatrice. La simulation remplaçant l'expérimentation permet, avec une grande économie de moyens, d'observer des résultats associés à la réalisation d'un très grand nombre d'expériences. On verra ici la diversité des situations simulables...."
Il me semble que ce problème colle parfaitement a ce programme de seconde
De plus, on tient peut-être un problème pour la future épreuve TICE en TS, non ?
Il est claire que la simulation fait partie intégrante de notre enseignement et c'est ce que je fais à mes élèves soit par calculatrice ou tableur.
Mais avant de faire une simualtion, il faut toute une préparation purement mathématiques " accessibles" à nos élèves. Tout le monde ne tavaille pas avec des classes S. Les APV existent toujours!!!!
Pour V.Maille:Candide n'est ni remarque ni bravo
Parallax a finalement raison, son résultat est bien la moyenne de la loi binômiale
pour N= 10 expériences répétées indépendantes de probabilité [m]p=0,9^10[/m]
dans ce cas on démontre que E(X)=Np et la variance V(X)=Npq, (avec q=1-p),
mais ça n'a rien d'une évidence, ça doit être justifié.
Cher CLR (ou, de préférence Chère CLR) : Fermat n'a pas emporté sa démonstration dans la tombe, je mets mon idée sur pièce jointe.
A +
Philippe
philippe,
même si le résultat final semble être bon. je ne suis pas d'accord sur le type de tirage et la modélisation du problème: les dix chasseurs tirent en même temps . Je vais me concentrer un peu plus sur ton raisonnement.
Que les chasseurs tirent succéssivement ou simultanément n'a pas d'importance pour les probas, car dans la mathématisation avec tirages succéssifs avec remise on comprend qu'un chasseur peut tirer sur un canard déja touché auparavant.
Pour parallax: le nombre de surjections de n éléments vers p éléments est donné par la formule:[m]S(n,p)=sum{k=1}{p}{((-1)^(p-k)C(p,k)k^n)}[/m], où C(p,k) est le nombre de combinaisons de k éléments parmi p.
Voir le site :
perso.orange.fr/gilles.co...
Merci Joupat,
1) j'avais déjà la formule ainsi q'une autre formule de récurrence sur les S(n,p), mais je déclare forfait quand au calcul de l'espérance à partir de la loi de proba.
2) On trouve bien l'espérance de la loi binomiale que tu décris [m]B(10,0.9^10)[/m] mais ce n'est pas une loi binomiale car il n'y a pas indépendance. Par contre il y a équiprobabilité d'où mon idée de multiplier par 10 la proba de survie d'un canard. En considérant qu'il s'agit d'une somme de 10 loi binomiales [m]B(1,0.9^10)[/m] on a alors [m]E(X)=E(sum{}{}{X_i})=sum{}{}{E(X_i)}=nE(X_i)[/m]... reste que X=n n'est pas convenable avec "le sans échec"...
A bientôt.
Bonjour Vincent,
nul part en effet, la dépendance/indépendance ne pose pas de problème pour le calcul de l'espérance d'une somme de variables aléatoires.
Ce qui m'a gêné après reflexion c'est que la variable X puisse prendre la valeur 10 alors qu'il ne peut y avoir 10 survivants. Heureusement tout s'arrange bien car la proba correspondante est nulle.
A+
Après 2 mois de vacances, je reprends le problème, la limite du nombre de survivants n'est pas [m]1/e[/m] puisque [m]E(X)={(N-1)^N}/{N^{N-1}}[/m] et non [m]({N-1}/N)^N[/m] me semble-t-il.
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Un scénario vous est proposé à cette adresse.
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{9^10}/{9^10}