Je me déclare devant témoin prêt à verser 100
à toute personne qui men donnera 5 sous la forme de 20 pièces
de 50cts, 20cts et 5cts.
Suis-je tellement généreux ? Si, non pourquoi
?
(d'après Oh les maths, Ya Perelman Ed. DUNOD 1992)
Commentaires
1.
Le dimanche, mai 6 2007, 21:59 par Vincent Maille
Echangez ici vos idées...
2.
Le dimanche, mai 6 2007, 22:47 par Condorcet(60)
Bon courage à ceux qui vont en faire un problème d'analyse diophantienne.
Pour ma part, j'ai traité le problème avec EXCEL: j'ai mis 5 min à remplir ou faire remplir toutes les possibilités de combinaisons de pièces et à lui faire calculer le total.
Effectivement, aucun de ces totaux n'est de 5.
3.
Le lundi, mai 7 2007, 18:04 par Philippe PICART
[message provenant de la liste mathématique]
Le problème posé tel quel (avec 100euros) ne laisse assez de place à la conjecture d'une possibilité de solution. Il s'agit alors de prouver que c'est impossible, mais l'intuition ("on ne promettrait pas 100 euros si une solution était possible") donne l'assurance de l'impossibilité. J'ai le sentiment qu'en tant que prof de maths qui essaie de rendre pertinent le besoin de démontrer, on se tire une balle dans le pied ...
Est-ce qu'en proposant une récompense plus modeste de 6 euros (ou 10 ?), on ne rendrait pas plus vraisemblable qu'une solution est possible ?
Dans ce cas, on lance plus facilement la recherche mais il est vrai le besoin de preuve est retardé... Cette alternative peu demander un peu plus de temps.
Moi, je peux aller jusqu'à 4 euros; T'inquiètes !!!
6.
Le mercredi, mai 9 2007, 21:09 par charlienouba
avec 3 entiers x, y et z: x+y+z =20 et 0,5 x + 0,2y + 0,05z =5 donnent ,par combinaison
0,6y + 0,9 z =10 ,
soit 6y + 9z =100 ou
2y + 3z =100:3 impossible pour y et z entiers ?
Bien joué charlienouba
Et comme on a: ay+bz=c (a,b,c entiers non nuls) admet une couple d'entiers (y;z) solution
ssi
d divise c avec d = pgcd(a;b)
c'est fini....
8.
Le vendredi, mai 11 2007, 20:53 par François GONET
Le problème, mis en équation: x+y+z=20 et 0,5x+0,2y+0,05z=5 et x, y, z entiers naturels compris entre 0 et 20 se ramène, en mettant z en paramètre, à x=(20+3z)/6 et y=(100-9z)/6
On peut utilser le tableur bien sûr, et voir que pour z variant de 0 à 20 dans N, ni x ni y ne tombent juste :
Mais on peut aussi utiliser géogébra : z est en curseur, et le point A de coordonnées x=(20+3z)/6 et y=(100-9z)/6
Tiens donc, le point A décrit un segment ! Et oui , en y regardant de plus près : y = -1/2 x + 80/3
Pas étonnant que ça tombe pas juste ! le segment décrit par A, ne passe jamais par les intersections de la grille, donc pas d'entiers solutions.
Un joli problème à utiliser en seconde pour réinvestir les notions sur les sytèmes et les équations de droites. Je vais tester ça bientôt.
Servons-nous des critères de divisibilité.
Il suffit de résoudre 50x+20y+5(20-x-y)=500 soit 45x+15y=400 soit 9x+3y=80 soit y=(80-9x)/3.
Pour que y soit entier, il est nécessaire que (80-9x) soit un multiple de 3 donc que 80 le soit aussi.
Je garderai mes 100 euros.
10.
Le samedi, juin 2 2007, 23:05 par Vincent Maille
Merci pour vos idées,
Laquelle de ces preuves vous semble la plus crédible ou rigoureuse :
Celle de condorcet(60) qui utilise un tableur
ou
Celles de charlienouba ou gégé qui proposent des preuves arithmétiques ?
Paradoxalement la preuve arithmétique n'est valable que pour une somme à atteindre (ici 5) alors que la preuve tableur est valable pour 5 mais aussi 2 ou 3 euros...
Oui, d'ailleurs on pourrait demander "Quelles sont les valeurs entière réalisable avec 20 pièces". Là difficile de ne pas voir l'intérêt du tableur....
Commentaires
Echangez ici vos idées...
Bon courage à ceux qui vont en faire un problème d'analyse diophantienne.
Pour ma part, j'ai traité le problème avec EXCEL: j'ai mis 5 min à remplir ou faire remplir toutes les possibilités de combinaisons de pièces et à lui faire calculer le total.
Effectivement, aucun de ces totaux n'est de 5.
Le problème posé tel quel (avec 100euros) ne laisse assez de place à la conjecture d'une possibilité de solution. Il s'agit alors de prouver que c'est impossible, mais l'intuition ("on ne promettrait pas 100 euros si une solution était possible") donne l'assurance de l'impossibilité. J'ai le sentiment qu'en tant que prof de maths qui essaie de rendre pertinent le besoin de démontrer, on se tire une balle dans le pied ...
Est-ce qu'en proposant une récompense plus modeste de 6 euros (ou 10 ?), on ne rendrait pas plus vraisemblable qu'une solution est possible ?
Dans ce cas, on lance plus facilement la recherche mais il est vrai le besoin de preuve est retardé... Cette alternative peu demander un peu plus de temps.
Le débat est lancé !
Si vous n'avez pas les moyens, deux ou trois euros suffiront...
Moi, je peux aller jusqu'à 4 euros; T'inquiètes !!!
avec 3 entiers x, y et z: x+y+z =20 et 0,5 x + 0,2y + 0,05z =5 donnent ,par combinaison
0,6y + 0,9 z =10 ,
soit 6y + 9z =100 ou
2y + 3z =100:3 impossible pour y et z entiers ?
Bien joué charlienouba
Et comme on a: ay+bz=c (a,b,c entiers non nuls) admet une couple d'entiers (y;z) solution
ssi
d divise c avec d = pgcd(a;b)
c'est fini....
Le problème, mis en équation: x+y+z=20 et 0,5x+0,2y+0,05z=5 et x, y, z entiers naturels compris entre 0 et 20 se ramène, en mettant z en paramètre, à x=(20+3z)/6 et y=(100-9z)/6
On peut utilser le tableur bien sûr, et voir que pour z variant de 0 à 20 dans N, ni x ni y ne tombent juste :
Mais on peut aussi utiliser géogébra : z est en curseur, et le point A de coordonnées x=(20+3z)/6 et y=(100-9z)/6
Tiens donc, le point A décrit un segment ! Et oui , en y regardant de plus près : y = -1/2 x + 80/3
Pas étonnant que ça tombe pas juste ! le segment décrit par A, ne passe jamais par les intersections de la grille, donc pas d'entiers solutions.
Un joli problème à utiliser en seconde pour réinvestir les notions sur les sytèmes et les équations de droites. Je vais tester ça bientôt.
Servons-nous des critères de divisibilité.
Il suffit de résoudre 50x+20y+5(20-x-y)=500 soit 45x+15y=400 soit 9x+3y=80 soit y=(80-9x)/3.
Pour que y soit entier, il est nécessaire que (80-9x) soit un multiple de 3 donc que 80 le soit aussi.
Je garderai mes 100 euros.
Merci pour vos idées, Laquelle de ces preuves vous semble la plus crédible ou rigoureuse :
Celle de condorcet(60) qui utilise un tableur
ou
Celles de charlienouba ou gégé qui proposent des preuves arithmétiques ?
Paradoxalement la preuve arithmétique n'est valable que pour une somme à atteindre (ici 5) alors que la preuve tableur est valable pour 5 mais aussi 2 ou 3 euros...
Oui, d'ailleurs on pourrait demander "Quelles sont les valeurs entière réalisable avec 20 pièces". Là difficile de ne pas voir l'intérêt du tableur....