gen_ue2008

Le programme et les fiches utilisés pendant l'atelier sont disponibles à l'adresse Internet suivante : http://physexp.free.fr/

Remarque : Il y a quelques lettres greques qui n'apparaissent pas dans le texte. Ces problèmes de police de caractères seront résolus sur la page Internet des actes de l'Université qui seront (en partie) disponibles en ligne sous 15 jours.

Texte de l'intervention
Quelles évolutions pour l'enseignement des mathématiques ?

(D'autres fichiers viendront par la suite compléter ce texte )

L'atelier de Monsieur Philippe Saadé relatif au logiciel SAGE nous a fait découvrir un logiciel de qualité qui permet d'effectuer de nombreuses tâches en quelques lignes de code. Quelques exemples :

- Représentation graphique d'une fonction (1 ligne de code) ;

- Développement limité d'une fonction (3 lignes de code) ;

- Transformation de Fourier d'une fonction (5 lignes de code).

(Les liens relatifs aux fichiers xls ne sont pas encore actifs)

Mathématiques scolaires et périscolaires

Saint-Flour, le 29 août 2008, André Deledicq

Si « scolaires » veut dire « dans les établissements scolaires », alors l’ensemble des mathématiques périscolaires est, à mon sens, vide. Si « scolaires » veut dire « au programme », alors les mathématiques périscolaires doivent évidemment se faire « dans les établissements scolaires » . Qu’il faille faire, dans la classe, d’autres mathématiques que celles qui sont au programme est évidemment plus que jamais nécessaire. D’abord parce qu’il faut « donner soif » aux élèves ; rappelons nous la fable de Célestin Freinet… (Voir annexes) Mais nos élèves ont-ils soif, ou faim, de mathématiques ? Quels apéritifs leur servir ? - jouer le jeu de la compétition, fût-elle contre soi-même (concours, rallyes, défis…) - faire faire des choses « pour se sentir intelligent » (travaux dirigés, activités de clubs, …) - montrer des objets (intellectuels ou non) qui soient beaux, surprenants, jubilatoires,… - profiter de la bonne image de la « culture générale » et leur raconter des histoires, qui leur apprenne de l’histoire … (par définition, la culture « générale » ne peut être que, à la fois, littéraire et scientifique).

Mon intervention comporte 3 parties :

1. Analyse de quelques réponses au concours Kangourou 2008.

2. Pourquoi et comment les mathématiques sont jubilatoires ?

3. Quelques illusions didactiques.

1. Analyse de quelques réponses au concours Kangourou 2008. (Voir annexes et site mathkang.org)

2. Pourquoi et comment les mathématiques sont jubilatoires ?

La jubilation n’est (heureusement) pas propre aux mathématiques. Mais l’expérience le montre, et ceux qui font des mathématiques le savent bien : les maths semblent beaucoup plus jubilatoires que d’autres activités. Pourquoi ? Ce n’est qu’il y ait plus de OOOH ! (le spectacle est splendide, il n’y a qu’à le contempler) et de AHHH! , (le travail est magnifique, vraiment c’est beau) qu’ailleurs. Ces deux formes là se retrouvent dans toutes les disciplines. Mais pour les autres formes (voir annexes), il y a comme un accord fondamental entre leur caractéristiques et ce qui fait l’essence des mathématiques ; car les mathématiques sont des calques. des calques qui se superposent les uns aux autres pour engendrer la complexité du monde mais aussi pour en structurer la compréhension. Ainsi reconnaît-on… … les calques du formalisme : sur ces calques sont écrits des signes formant des mots et des phrases qui se succèdent selon des règles logiques. Il arrive souvent que ces calques se superposent l’un sur l’autre tout en ayant l’air de raconter des histoires différentes. … les calques des images ou des représentations susceptibles d’approcher ou de traduire localement les suites de signes ou d’énoncés précédents. … les calques des objets réels qui peuvent ressembler aux images ou aux représentations précédentes. La multiplicité de ces calques et leur faculté de prendre sens lors de leur superposition expliquent, à la fois, la richesse des mathématiques et la jubilation qui nait de leur explicitation. Ainsi la beauté des choses est souvent le résultat d’un agencement remarquable, d’une mécanique bien huilée, le ronronnement de cette mécanique engendrant une sorte de jubilation (VROUM VROUM !). Il arrive aussi que la complication des rouages et l’imbrication des calques fassent naître comme une pointe d’angoisse, elle-même recherchée pour le piment qu’elle ajoute au plaisir intellectuel (HOU HOU !). Mais ce que les mathématiques apportent typiquement, c’est le jeu des calquent qui se cachent l’un derrière l’autre (COUCOU !) ou qui se plaquent tout d’un coup l’un contre l’autre (SMACK !).

(Voir page jubilation-affi.pdf) Animations mathématiques illustrant le propos : COUCOU : Le théorème de johnson SMACK : Le ort de l’angoisse VROUM-VROUM : Le baton de Jacob et la machine de d’Alembert AHHH : Les sommes d’Al Karagi OOOH : Le cadeau de Kepler HOU-HOU : Le théorème de Boliay Ces animations peuvent se retrouver sur www.clubmaths.fr

3. Quelques illusions didactiques.

S’il est impossible d’enseigner les mathématiques, il est heureusement possible de les apprendre. Ainsi, les jeunes professeurs de mathématiques ne doivent-ils pas trop se faire de soucis,… à condition de perdre quelques illusions… Quelques ILLUSIONS à perdre

Maths Prof Elève Médiation

La médiation On peut inculquer des connaissances. A condition que l’élève le veuille bien (Freinet).

Le savoir se transmet. A moins qu’il ne se construise dans la tête de chaque élève (Piaget).

Le prof Il faut découper les difficultés en petits pas. Lebesgue

Il faut préparer son cours dans le plus petit détail. Félix

L’élève La non-compréhension est due à un manque de connaissance. Bachelard

Il y a quelque chose à comprendre.  Bouboudeux

Les maths Les mathématiques sont « vraies ». … non, elles ne sont que cohérentes.

On peut se passer de traductions concrètes des situations mathématiques. … non, bien sûr, mais si l’on pouvait traduire toutes les mathématiques en situations concrètes, il n’y aurait pas de mathématiques.

(Voir annexes)

Quelques commentaires …

Le savoir ne se transmet pas. Les élèves eux-mêmes croient souvent qu’il suffit de « suivre un cours » pour que son contenu se soit déversé dans sa propre tête. Comme il croit qu’en achetant l’encyclopédie XouY il deviendra un Pic de la Mirandole ; mais les choses ne se passent pas comme avec une disquette ou une clé USB : il ne suffit pas de remplir une mémoire avec une autre. Non, le savoir ne se transmet pas, il se construit chez celui qui est censé l’apprendre. Le problème principal c’est qu’on ne sait pas, en général, avec quelles briques, et quelles fondations, se fait cette construction. Piaget et ses successeurs ont évidemment étudié et proposé quelques idées générales ou locales éclairant le déroulement de ce processus. Mais l’environnement de l’éducation change vite, l’histoire personnelle des apprenants est bien mystérieuse, surtout que beaucoup d’hommes sont ainsi faits : lorsqu’on nous dit ce que nous sommes ou comment nous sommes, nous essayons de ne pas l’être vraiment ; c’est une question de liberté fondamentale !

Pour illustrer cette non-règle, voici une belle histoire de classe que m’a racontée Maryvonne Hallez à propos d’une situation qu’elle proposait à ses élèves… Voici un carré. Comment faire pour dessiner un carré exactement deux fois plus grand ? Précisément, il faut dessiner un carré dont la surface est deux fois plus grande. Comme dans toutes les salles de classe de mathématiques, il y avait un ciseau sur la table et Jacques découpa le carré en deux le long de sa diagonale. Madame, madame, s’écria-t-il, j’ai réussi, regardez ! Et il montrait son pitoyable demi carré en forme d’équerre. ça, c’est la moitié, le carré est bien deux fois plus grand … « Madame » n’était pas plus désespérée que d’habitude, Jacques n’étant jamais très intéressé et souvent plutôt dissipé. Elle répéta évidemment que ce qu’elle voulait, c’était un carré deux fois plus grand que le premier carré. Il prit ses deux demi carrés en forme d’équerre et se mit à les manipuler et à les juxtaposer dans différentes positions. Lorsqu’il obtint une équerre deux fois plus grande que chacun des deux morceaux, il eut une espèce de rictus, s’excita subitement en cherchant son crayon puis dessina fébrilement deux grandes équerres accolées par l’hypoténuse. Madame, madame, s’écria-t-il,… Un peu plus tard, lorsqu’il évoquait son bonheur passé avec « madame », il prononça une phrase magnifique : « Quand j’ai accolé mes deux équerres le long de leur petit côté, j’ai vu que j’avais devant moi une grande équerre ; une équerre deux fois plus grande que chacune des petites. Mais alors, puisque la petite était la moitié du carré, c’est que la grande était aussi la moitié d’un carré,… un carré deux fois plus grand, donc ! Quand j’ai compris ça, dans ma tête, alors, madame, je me suis senti intelligent ».

Vous le savez, cette sensation est tellement forte et impérieuse qu’on ne rêve, lorsqu’on l’a connue une fois, que de la renouveler. Comme dit le poète : « Jamais de la vie on ne l’oubliera, …».

Ne cherchez pas forcément à expliquer les choses pas à pas. Il est vrai qu’il est parfois bien agréable d’apprendre un bout de mathématiques lorsque les enchaînements de lemmes, théorèmes et corollaires se déroulent comme les marches d’un escalier avec une rampe de chaque côté. « Ce sont des mathématiques en pilules » disait encore Lebesgue, et il arrive que nous acceptions, ou que nous réclamions même, une telle administration de connaissances (ça m’arrive assez souvent d’ailleurs). Mais quelle épreuve, quel ennui pour ceux qui n’aurait pas déjà la volonté d’apprendre !

N’arrivez pas en classe en sachant tout ce que vous allez dire et faire faire à vos élèves. Car « le seul enseignement que peut donner un professeur, c’est de penser devant ses élèves » disait Lebesgue à ses élèves de l’Ecole Normale de Sèvres ; « Préparez avec grand soin votre cours, mais surtout ne vous astreignez pas à suivre ce que vous avez préparé », et Lucienne Felix rajoutait : « Faire un cours parfait répond aux besoins de l’érudition, mais non à ceux de la formation, lorsqu’il faut être prêt à tout et s’adapter à tout instant aux circonstances souvent inattendues ».

Si un élève « ne comprend pas », ne cherchez pas à connaître ce qu’il ne sait pas ! Cherchez plutôt ce qu’il sait et qui l’empêche de comprendre. Car ce qu’il sait déjà ne cadre pas à ce que vous essayer de lui apprendre et fait donc « obstacle » à cette nouvelle connaissance (voir Gaston Bachelard, La formation de l’esprit scientifique).

Voir, en annexe, les difficultés de Stendhal sur la multiplication des relatifs.

Et parfois, il n’y a rien à comprendre ! De sorte que l’on peut même donner un conseil pratique très efficace aux élèves :  Si vous ne comprenez pas ne cherchez pas forcément à « comprendre » ! Comme exemple, je cite souvent une anecdote qui fut, pour moi, l’une de mes premières leçons de didactique… Voir, en annexe, la bouteille et son bouchon Autre exemple, en annexe : Avec une soucoupe sur une table, on peut tracer des cercles de même rayon. Comment, avec la soucoupe seule, tracer le point diamétralement opposé à un point A sur un cercle ? 1. tracer un cercle C1 passant par A et recoupant le cercle initial en A1. 2. tracer un cercle C2 passant par A1 et recoupant le cercle C1 en A2. 3. tracer un cercle C3 passant par A2, recoupant le cercle C2 en A3 et le cercle initial en B. 4. tracer un cercle C4 passant par B et A3 recoupant le cercle initial en A’. A’ est le point diamétralement opposé à A sur le cercle initial. Peut-on comprendre cette construction ?

Le vrai Trop souvent les gens croient, ou parfois on fait même croire, que les maths apportent la Vérité. Et on lie l’activité mathématique à la production d’un discours ou de résultats qui ne pourraient pas être Faux. Rien n’est plus faux justement ! Car les mathématiques ne parlent pas de la vérité. Elles parlent de la cohérence, c'est-à-dire de la non-contradiction. … « C’est vrai comme deux et deux font quatre. », dit-on parfois. Non ! deux et deux ne « font » pas quatre. Et on peut exhiber des quantités de situations ou deux et deux font autre chose que quatre (un peu plus ou un peu moins, ou…) ; et aussi des morceaux de mathématiques où 2 + 2 font 1 (dans Z3) ou 0 (dans Z4) ou bien d’autres exotiques résultats.

COMPRENDRE ?

Dans ce que l’on « sait », il y a deux sortes de connaissances.

le savoir lui-même 7 x 8 = 56 a2 - b2 = (a+b) (a-b) « Pythagore »

les représentations du savoir le négatif est en dessous l’orthogonalité

Dans le savoir lui-même, comprendre, c’est souvent relier à du déjà connu (par l’analogie ou la démonstration) Pourquoi une hyperbole est-elle en général définie par 5 points ? Parce que l’équation d’une hyperbole dépend de 5 paramètres ax2 + bxy + cy2 + dx + ay + f =0 , abcdef à un coeff près). Mais avec l’habitude, « comprendre », c’est finalement souvent « démontrer » (et on se dit qu’il n’y a rien à comprendre).

Dans les représentations des mathématiques, comprendre, c’est disposer d’une situation concrète traduisant un énoncé mathématique.

Prenons l’exemple de la règle des signes Un habitué des mathématiques « comprend » que le problème se ramène à « -1 fois -1 font +1 », et c’est une propriété que l’on doit pouvoir démontrer dans tout anneau. En effet, on démontre d’abord que 1 × (-1) est l’opposé de 1 : 1 × (-1) + 1 =1 × (-1) + 1 × 1 = 1 × (-1) +1 = 1 × 0 = 0, comme  dans tout anneau. On montre alors « de manière analogue » que   (-1) × (-1) est l’opposé de 1 × (-1)  : 1 × (-1) + (-1) × (-1) = 1 + (-1) × (-1) = 0 × (-1) = 0. Comprendre, ici, c’est bien relier à un savoir déjà connu.

Mais ce n’est pas vraiment le sens où Stendhal pouvait vouloir « comprendre ». Lui aurait préféré sûrement qu’on lui présente une situation dans laquelle il pourrait interpréter à la fois le produit de deux nombres comme une aire de rectangle et le produit de deux symétries comme l’identité. Une telle situation, pas trop artificielle et suffisamment simple, n’existe pas (car on l’aurait déjà alors présentée dans les situations d’enseignement) … et ce n’est pas étonnant ! Il y a en effet un principe (qu’on pourrait appeler « l’illusion de la caverne ») : l’illusion qu’il existerait des représentations des mathématiques, quasi universelles et non contradictoires les unes les autres. Or, si toutes les notions mathématiques pouvaient se représenter par des situations, disons concrètes bien qu’elles ne soient pas obligées de l’être, alors il n’y aurait pas de mathématiques ! Toute interprétation est donc vouée à devenir trompeuse ! Et lorsque des paradoxes semblent intervenir, c’est au niveau des représentations qu’ils se situent. Prenons un exemple assez simple : Soient deux véhicules supposés partir de Paris en ligne droite, circulant à la même vitesse et suivant deux routes faisant un angle de 60°. Les mathématiques sauraient-elles démontrer ceci : à tout moment la distance qui les sépare est égale à la distance qu’ils ont parcouru ? Les mathématiques sauraient-elles dire où les deux véhicules vont-ils se rencontrer ? (réponse : les deux véhicules peuvent être des avions ; s’ils ont assez d’essence, ils se rencontreront alors aux antipodes de Paris.)

De plus, attention, la logique spontanée interprète souvent comme VRAI, un énoncé traduit par une situation concrète. Cette situation concrète semble « confirmer » la vérité de l’énoncé mathématique. Or les mathématiques, comme on l’a dit, n’ont rien à voir avec le « vrai ». Voila bien des choses que l’on pourrait bien dire aux élèves pour les sécuriser lorsqu’ils ont la sensation de perdre pied… et pour leur donner dans les mathématiques, la confiance que voulait leur faire Stendhal et qu’aucun de ces professeurs ne pouvait lui donner avant 1900.

L’enseignement des mathématiques à travers le monde. Les problématiques sont-elles les mêmes partout ?

Dominique Barbolosi, université Paul Cézanne (Marseille) Geneviève Loridon, IA-IPR académie de Besançon Daniel Perrin, université Paris Sud Aline Robert, université de Versailles Cergy

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